Κάθε φορά που ένας μαθηματικός ολοκληρώνει μια απόδειξη, βρίσκεται μπροστά με μια ολοκαίνουργια εμπειρία. Ανοίγει μια πόρτα κλειδωμένη ως τώρα, εισέρχεται στο ανεξερεύνητο δωμάτιο που μόλις ανακάλυψε και μέσα σε αυτό... απολαμβάνει το νέκταρ της επιτυχίας του. Η ευχαρίστηση της ανακάλυψης, η εξερεύνηση ενός χώρου «ξένου» και αγνώστου μέσα στα μαθηματικά μονοπάτια, είναι ίσως ο,τι καλύτερο μπορεί να προσφέρει η μαθηματική επιστήμη.
Η «απλή» εικασία που μετατράπηκε στο... δυσκολότερο πρόβλημα στην ιστορία των μαθηματικών
Ενα πρόβλημα μπορεί να φαίνεται απλό, μπορεί να δίνει την εντύπωση πως η λύση του δεν θα αργήσει να έρθει. Στον κόσμο των μαθηματικών όμως βασιλεύει η αβεβαιότητα. Τα περίεργα σύμβολα και οι τεράστιες παραστάσεις δεν εγγυούνται την δυσκολία. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί το τελευταίο θεώρημα του Φερμά, μια μικρή και λιτή εικασία που διατυπώνεται σε μόλις μία γραμμή.
«Αν ένας ακέραιος n είναι μεγαλύτερος του 2, τότε η εξίσωση xn+yn=zn, όπου x, y, και z θετικοί ακέραιοι δεν έχει λύση.» Πως μπόρεσε μια τόσο μικρή πρόταση να... εγκλωβίσει την σκέψη των μαθηματικών για παραπάνω από τρεις αιώνες; Η θεωρία που κρύβεται πίσω από αυτόν τον μικρό «γρίφο» ήταν ικανή να το μετατρέψει σε... μύθο. Για χάρη αυτής της εικασίας γράφτηκαν οι περισσότερες λανθασμένες αποδείξεις, δημιουργώντας έτσι μια θέση στο βιβλίο Γκίνες για το «δυσκολότερο πρόβλημα στην ιστορία των μαθηματικών».
Ο προχειρογραμμένος γρίφος του Φερμά και ο... μυστηριώδης ισχυρισμός του
Ο Φερμά ήταν ένας σπουδαίος και ταλαντούχος μαθηματικός του 17ου αιώνα, ο οποίος δημιούργησε και απέδειξε μια μεγάλη σειρά θεωρημάτων. Οσες από τις προτάσεις του έμειναν αναπόδεικτες μετά τον θάνατο του, δεν άργησαν να επιβεβαιωθούν από άλλους μαθηματικούς. Ο Γάλλος επιστήμονας όμως είχε φροντίσει να συμπεριλάβει ένα πραγματικά ξεχωριστό πρόβλημα στο έργο του. Το τελευταίο θεώρημα του, το γνωστότερο από όλα τα άλλα, ήταν κάτι το μοναδικό. Η δυσκολία του σε συνδυασμό με την λιτότητα του αντικατόπτριζαν πλήρως την φύση των μαθηματικών, ενώ η απόδειξη του αποτέλεσε τον διακαή πόθο κάθε μαθηματικού για τους επόμενους τρεις αιώνες.
Το πρόβλημα που δυσκόλεψε όσο κανένα άλλο την μαθηματική κοινότητα προήλθε από μια απλή σημείωση του Γάλλου μαθηματικού στο βιβλίο Αριθμητικά του Διόφαντου. Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά ήταν ουσιαστικά μια άλυτη εικασία γραμμένη πρόχειρα πάνω στις σελίδες ενός βιβλίου. Μάλιστα στο περιθώριο του ίδιου βιβλίου υπήρχε και μια ξεκάθαρη δήλωση του... μυστήριου μαθηματικού, ο οποίος ισχυριζόταν πως είχε μια πολύ κομψή απόδειξη για το θεώρημα του, μόνο που είναι... πολύ μεγάλη για αν χωρέσει σε τόσο λίγο χώρο.
Η κρυφή δυσκολία του προβλήματος και οι ατελείωτες ανεπιτυχείς προσπάθειες
Η εικασία του Φερμά και ο ισχυρισμός του πως η λύση του προβλήματος υπάρχει, πυροδότησε το ενδιαφέρον σύσσωμης της μαθηματικής κοινότητας. Η διατύπωση του θεωρήματος μπορούσε να γίνει αντιληπτή από τον καθένα. Ο Γάλλος μαθηματικός ισχυριζόταν πως «είναι αδύνατο να χωρίσεις μια δύναμη μεγαλύτερη της δεύτερης, σε δύο ίδιες δυνάμεις». Αν στο τύπο αντικαθιστούμε το «n» με τον αριθμό 2, οδηγούμαστε στις πυθαγόρειες τριάδες. Υπάρχουν άπειροι ακέραιοι αριθμοί οι οποίοι υψωμένοι στο τετράγωνο ικανοποιούν την εξίσωση του Φερμά. Ενα απλό παράδειγμα είναι το 32 +42 = 52. Οταν όμως ο εκθέτης ήταν μεγαλύτερος του δύο, τότε η διαδικασία δυσκόλευε αρκετά.
Η επίλυση της εικασίας ήταν μια αργή διαδικασία, αποτελούμενη από πολλά βήματα σε βάθος χρόνου. Ανάμεσα στο πλήθος των λανθασμένων αποδείξεων που δημοσίευαν επίδοξοι μαθηματικοί της εποχής, υπήρχαν και προσπάθειες που προσέγγισαν αρκετά την λύση του προβλήματος. Μαθηματικοί όπως η Σοφί Ζερμαίν και Ερνστ Κούμερ έκαναν πολύ αξιόλογες προσπάθειες και εν μέρει κατάφεραν να αποδείξουν το θεώρημα του Γάλλου μαθηματικού. Κάθε πρόταση στα μαθηματικά όμως απαιτεί απόλυτη αυστηρότητα. Οι δύο μαθηματικοί, αν και είχαν κάνει καλή προσέγγιση του θέματος, δεν κατάφεραν να το λύσουν εξ ολοκλήρου.
Η συμβολή των μαθηματικών του 20ου αιώνα - Η... φανταστική ιδέα που οδήγησε στην λύση του θεωρήματος
Είχαν περάσει σχεδόν τρεις αιώνες από την διατύπωση του θεωρήματος χωρίς να βρεθεί μια αυστηρή λύση του. Παράλληλα είχαν δημιουργηθεί ολοκαίνουριοι κλάδοι των μαθηματικών
όπως η Μιγαδική Ανάλυση, ενώ τομείς όπως η Αλγεβρική Τοπολογία είχαν εξελιχθεί σημαντικά. Ποιος θα περίμενε όμως ότι η λύση ενός προβλήματος που προέρχεται από την εποχή του... μπαρόκ θα βρισκόταν ανάμεσα στα εξελιγμένα πλέον μαθηματικά;
Το 1984, ένας μαθηματικός με αρκετό θάρρος και φαντασία, σκέφτηκε να συνδέσει το θεώρημα του Φερμά με αυτό των modular forms. Ο Ζέραρντ Φρέι ήταν ο πρώτος που επιχείρησε να επιλύσει την εικασία του Φερμά χρησιμοποιώντας σύγχρονες μεθόδους, φαινομενικά άσχετες με αυτήν. Περίπου δέκα χρόνια μετά, ο Αντριου Γουάιλς συνεχίζοντας την ιδέα του Φρέι, κατάφερε να φτάσει στην πρώτη ολοκληρωμένη απόδειξη του μαθηματικού μύθου. Ελλειπτικές καμπλύλες, μιγαδικά ημιεπίπεδα, θεωρία αριθμών και στοιχεία από πολλούς άλλους μαθηματικούς κλάδους εμπεριέχονταν σε μια απόδειξη δυσανάλογα μεγάλη με την εικασία.
Η απόδειξη του Γουάιλς που δημοσιεύτηκε το 1993, ανάμεσα στον τεράστιο αριθμό σελίδων της είχε μερικές ανακρίβειες. Η προσπάθεια του Βρετανού μαθηματικού δεν έγινε δεκτή από την μαθηματική κοινότητα, το γεγονός αυτό όμως δεν τον πτόησε. Σε συνεργασία με έναν παλιό του φοιτητή, τον Ρίτσαρντ Τέιλορ, ο Γουάιλς κατάφερε να διορθώσει τα λάθη της γιγαντιαίας απόδειξης του και να... γευτεί το νέκταρ της απόλυτης μαθηματικής ικανοποίησης. Το 1995 ο μύθος του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά είχε λάβει τέλος, ενώ ένας νέος μύθος γεννιόταν γύρω από το πρόσωπο του Αγγλου μαθηματικού που έγινε αμέσως πασίγνωστος.
Η μαγική αίσθηση της ανακάλυψης και... το νέκταρ της μαθηματικής επιτυχίας
Προσπαθώντας να περιγράψει την «περιπέτεια» του κατά τη διάρκεια της επίλυσης του θεωρήματος του Φερμά, ο Γουάιλς κατάφερε να αποδώσει πλήρως την μαγεία της μαθηματικής έρευνας. «Ίσως, ο καλύτερος τρόπος για να περιγράψω την εμπειρία μου στα μαθηματικά είναι να την παρομοιάσω με την εμπειρία του να εισέρχεσαι σε ένα σκοτεινό μέγαρο. Εισέρχεσαι στο πρώτο σκοτεινό, απολύτως σκοτεινό, δωμάτιο. Σκοντάφτεις δεξιά, αριστερά και πέφτεις επάνω στα έπιπλα. Σιγά σιγά μαθαίνεις που βρίσκεται κάθε έπιπλο. Και τελικά, μετά από περίπου έξι μήνες, βρίσκεις το διακόπτη και ανάβεις το φως. Ξαφνικά, λοιπόν, τα πάντα φωτίζονται και βλέπεις πλέον που βρισκόσουν. Κατόπιν εισέρχεσαι στο επόμενο σκοτεινό δωμάτιο.»
Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά, το δυσκολότερο πρόβλημα στην ιστορία των μαθηματικών, από το 1995 και μετά είναι πλέον αποδεδειγμένο. Ο μύθος γύρω από την εικασία του Γάλλου μαθηματικού ωστόσο θα είναι για πάντα ζωντανός, ικανός να δημιουργεί επιπλέον ανησυχίες στους νεοφώτιστους μαθηματικούς. Προβλήματα σαν κι αυτό μένουν στην ιστορία όχι μόνο για την δυσκολία τους, αλλά και για την ικανότητα τους να «μαγεύουν» τους νέους μαθηματικούς, οδηγώντας τους στην δική τους πορεία προς το... νέκταρ της μαθηματικής τους επιτυχίας.
Ο δυσκολότερος μαθηματικός γρίφος δημιουργήθηκε από πρόχειρη σημείωση!
Δημοσίευση σχολίου